Držitel nejvyššího českého vyznamenání, Řádu bílého lva (in memoriam 2018). Rovněž in memoriam Cena Jihomoravského kraje (2014). V Brně-Židenicích je po něm pojmenována ulice.
„Žanek“ se narodil a vyrůstal v brněnských Židenicích, pocházel z šesti dětí. Tatínek byl pekař, ale Jan se rozhodl studovat na Přírodovědné fakultě MU a později si zvolil zaměstnání učitele tělocviku a zeměpisu. Rád sportoval, ve 20. letech hrál na postu brankáře za SK Židenice, ale zlákala ho gymnastika. Začal cvičit
v židenickém Sokole, později přestoupil do Sokola Brno I. V roce 1925 dostal místo v reprezentačním družstvu a zůstal tam dalších 15 let až do fašistické okupace.
Na Pařížskou olympiádu v roce 1924 se nedostal, neprošel druhým vylučovacím závodem. Vynahradil to ale o pár let později na olympiádě v Amsterdamu, odkud přivezl stříbrnou medaili ze soutěže družstev. Tomu ale předcházel nepříjemný zážitek, Gajdoš spadl z koně a vykloubil si loket. Vojenský lékař mu tehdy řekl, že už nikdy cvičit nebude. Jan si ale sám naordinoval drsnou léčbu a po pár měsících zase cvičil.
Několikrát se stal přeborníkem České obce sokolské v gymnastice, na letních olympijských hrách v Berlíně (1936) získal v soutěži družstev 4. místo, ale největším vrcholem jeho kariéry bylo mistrovství světa v Praze v roce 1938, kde se stal trojnásobným mistrem světa. V letech 1929 až 1930 působil jako cvičitel
a cvičenec v Sokole Plzeň Chicago v USA. Zde na II. sletu Americké obce sokolské vybojoval 1. místo a jako cvičitel nastudoval sletovou skladbu pro muže, kterou sám napsal. Do USA se pak znovu vrátil o tři roky později s velkou Československou výpravou.
Po okupaci, když Němci rozpustili Českou obec Sokolskou, se zapojil do odbojové skupiny Jindra. Skupina měla na starost zpravodajskou práci, odhalovaní udavačů a včasné varování odbojářů. Skupina se také
v roce 1942 podílela na atentátu na Reinharda Heydricha. Gajdoš měl na starosti obsazování železnic, skupinu za Židenice a Juliánov. Nakonec 18. ledna 1944 přišlo gestapo i pro něj. 18 měsíců byl vězněn na Kounicových kolejích, odkud byl převezen do Vratislavy. Tam onemocněl tuberkulózou. Přežil i transport smrti do Cvikova, ale jeho zdravotní stav se zhoršil. Prodělal několikanásobný zánět plic, měl příznaky tuberkulózy a a později i rakoviny. Po osvobození jej přivezli domů. Na podzim ale přišlo opětovné zhoršení
a převoz do Zemské nemocnice v Brně, kde ve svých 41 letech zemřel.
Ulice, na které se nachází ČAFC Židenice a také Sokolovna, byla v roce 1946 na jeho počest přejmenována na Gajdošovu.